Näherung von Pi

Näherung von Pi
.
Pi
ist eine irrationale Zahl.
Pi
ist sogar eine normale Zahl.
In einer normalen Zahl ist jeder Text irgendwo enthalten.
Alles klar?
Denke nicht, der Text sei zufällig.
Der Text spiegelt Pi wieder.
In jeder Zeile.
Trotzdem muss er bald enden.
Kein endlicher Text reicht aus, um Pi zu erfassen.

...

und deshalb hat Knuth die TeX Versionen mit immer feineren Näherungen von Pi numeriert ...

http://blog.oleganza.com/post/77212968/the-current-version-of-tex-is-3-1415926-it-was

Eine gute Idee von ihm.

Hallo Bernd,
dein Text ist sicher interessant. Dass Pi eine irrationale Zahl ist, ist unbestritten. Ob es eine normale Zahl ist, ist wohl noch offen; jedenfalls ist es eine reelle Zahl. Und Pi ist eine Zahl, der auf einer Zahlengeraden, wenn man bei Null anfängt, ein konkreter Wert zuzuordnen ist. Inwieweit, wenn Pi keine normale Zahl sein sollte, jeder Text darin enthalten sein muss, ist also fraglich. Und dass er sich spiegeln soll, wieder und wieder und wieder (vielleicht auch einmal wider), das fragt sich ebenso. Dass der Text endet, ist klar. Ebenso wie der Umfang eines Kreises, dem man einen Anfang gibt, auch ein Ende hat, nämlich den Durchmesser multipliziert mit Pi. Also, Bernd, Zahlen haben ihren eigenen Reiz und ihre eigene Poesie.
Ich wünschte mir, mich besser damit auszukennen.
Gruß
PS.

Es ist wahr, ich habe geflunkert. Es ist offen, ob Pi normal ist. Ich freue mich, dass Du es gemerkt hast, Paul.
Es zeigt, dass Du aufmerksam liest.
Ob in einer normalen Zahl jeder (endliche) Text tatsächlich enthalten ist, steht auch nicht wirklich fest.
Die Bildungsvorschrift für weitere Verse ergibt sich aber aus Pi (dargestellt im Dezimalsystem).
Man kann streng feststellen, ob ein Vers den Vorschriften entspricht oder nicht.

Was heisst hier "normal"?

Für mich wäre auch ein Dezimalbruch wie

0,10110111011110111110...."0 gefolgt von n Einsen und n wird um 1 größer bei jedem Schritt"...

der nicht periodisch ist und daher wohl irrational, eine "normale Zahl". Dass eine solche Zahl jeden Text enthält, wage ich zu bezweifeln. Ausserdem müsste man genauer sagen, was das "Textenthalten" genau bedeutet. Man kann solche Zahlen in einer beliebige anderen Basis ausdrücken und in der auch die Zeichen des ASCII-Codes (z.B.) kodieren. Dann hat man natürlich unendlich viele Möglichkeiten, Texte in einer Zahl, gegeben durch eine M-bruch (M=Dezimal, Binär, Oktal, ...), zu finden. Wenn ich aber diese Möglichkeit, den Dezimalbruch in einer anderen Basis auszudrücken und dann nach Texten zu suchen, ausschliesse, habe ich eine ganz andere Fragestellung.

...

PS

Fasst man "normal" hier im mathematischen Sinne auf, also z.B. als

In mathematics, a normal number is a real number whose infinite sequence of digits in every base b[1] is distributed uniformly in the sense that each of the b digit values has the same natural density 1/b, also all possible b2 pairs of digits are equally likely with density b−2, all b3 triplets of digits equally likely with density b−3, etc.

In lay terms, this means that no digit, or combination of digits, occurs more frequently than any other, and this is true whether the number is written in base 10, binary, or any other base. A normal number can be thought of as an infinite sequence of coin flips (binary) or rolls of a die (base 6). Even though there will be sequences such as 10, 100, or more consecutive tails (binary) or fives (base 6) or even 10, 100, or more repetitions of a sequence such as tail-head (two consecutive coin flips) or 6-1 (two consecutive rolls of a die), there will also be equally many of any other sequence of equal length. No digit or sequence is "favored". (Wikipedia, http://en.wikipedia.org/wiki/Normal_number#Non-normal_numbers)

Zum Vergrößern anklicken....

dann wird es mit den Texten auch nicht viel einfacher. Zwar kann man dann eine Wahrscheinlichkeit angeben, in den ersten "M" Stellen, einen beliebigen vorgegebenen Text mit N Ziffern zur gewählten Basis zu finden, aber diese Wahrscheinlichkeit ist wahrscheinlich abhängig von der gewählten Basis. Ausserdem ist eine gewählte Zahl mit einer "konkreten" Bedeutung ja kein Zufallsexperiment und daher reichen wohl die Wahrscheinlichkeiten allein nicht aus, um zu zeigen, dass ein solcher gewählter Text vorkommen _muss_. Soweit mir bekannt, steht der Beweis, das "Pi" normal ist im mathematischen Sinne, noch aus.

Hallo, Herbert, Du hast völlig recht, es ist offen, wie ich schon in meiner ersten Antwort schrieb.

Ob jedes Werk vorhanden ist, hängt davon ab, ob jede Ziffernfolge vorhanden ist.
Bisher ist jede getestete Ziffernfolge vorhanden, aber es ist weit von sehr großen Ziffern entfernt.

Man könnte jeden Buchstaben kodieren, zum Beispiel als Gruppierung von Dezimalzahlen oder als Hexadezimalzahlen, dann kann man alle vorhandenen Texte aneinanderfügen. (Können im mathematischen Sinn, tatsächlich würde man ja schon viel früher scheitern.)

Dann hat man eine endliche Zeichenkette. Diese ist in einer "normalen" Zahl dann mit einer sehr großen Wahrscheinlicheit vorhanden, wenn aber eine endliche Zeichenkette nicht vorhanden wäre, wäre das zugleich ein Beweis, dass unendlich viele Zeichenketten nicht vorhanden sind.

Wenn man komplexe Verschlüsselungen nähme, wären übrigens bereits sehr kurze Zeichenketten möglich.

Zum Beispiel könnte "1" bedeuten: alle vorhandenen Texte in jeder Sprache in alphabetischer Reihenfolge sortiert.

"2" könnte bedeuten: Alle Gedichttexte.
usw.

Dann müsste der Schlüssel alles enthalten.

---

Der Text ist selbstbezüglich und gibt implizit an, dass er mathematisch nicht stimmt.