Der Logik neue Kleider

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Trestone

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Der Logik neue Kleider (Mathe-Märchen)

Es war einmal ein Kaiser, der liebte die Wissenschaft. Er berief viele kluge Köpfe um sich herum die eifrig von ihm gefördert forschten.
Eines Tages kamen zwei Logiker, die ihm ihre Disziplin mit folgenden Worten schmackhaft machten: Unsere Logik ist nicht nur schon zweitausend Jahre alt, sie liegt auch jeder Wissenschaft zu Grunde und nur wer dumm ist und für wahre Wissenschaft nicht taugt, kann sie nicht verstehn, denn sie ist kinderleicht.
Der Kaiser verstand nicht, warum er nun diese Logik brauchte, und so fragte er verdiente Staatsmänner und Minister was sie davon hielten. Die wollten sich keine Blöße geben und betonten die universelle Gültigkeit und unbezweifelbare Wahrheit der neuen Logik.
So wagte sich der Kaiser mit der neuen alten Logik auch auf die Straße.
Auch als sich mittels der Logik die Wurzel aus 2 als irrational erwies, man plötzlich überabzählbar unendliche Mengen finden konnte und sich in der Arithmetik zeigte, dass die meisten wahren Sätze nicht beweisbar waren, wurde das als Indiz für die Rafinesse dieser Logik angesehen und geglaubt.
“Aber die Logik hat ja keine Kleider an – sie funktioniert ja nicht!” rief endlich ein kleines Kind.
Da warfen sie schnell der Logik ein paar Stufen über und beendeten die Prozession.
 

schreibs

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Auch ich liebe die Mathematik, der die Logik zugehörig ist. Ein schönes Märchen, das gut in unsere Zeit passt. Immerhin leben wir im goldenen Zeitalter der Mathematik
 

SánchezP

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Hallo Trestone,

eine schöne Idee und ein interessantes Märchen!

Liegt der Hintergrund deines Werks in Dingen wie Russells Barbier-Paradoxon oder dem Gödelschen Unvollständigkeitssatz?

Was ich nicht so ganz verstehe: Warum hast du ausgerechnet die Irrationalität der Wurzel von Zwei und die Existenz überabzählbarer Mengen erwähnt? Ist das nur exemplarisch zu sehen oder hat dies einen speziellen Sinn? Auch dass die meisten wahren Sätze nicht beweisbar sind, halte ich für etwas übertrieben. Wobei es natürlich Beispiele wie das 3n+1 Problem gibt.

Wie auch immer: Das Lesen hat Spaß gemacht!

Viele Grüße
Sánchez
 

Trestone

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Hallo Sánchez,

mit diesem Märchen spiele ich auf eine reale alternative Logik an, die Stufenlogik.
Sie relativiert die angeführten Beweise, die implizit den "Glauben" an die "alte" Logik voraussetzen.

Bei Interesse einfach nach "Stufenlogik" "Trestone" googeln,
oder in diesm Link nachlesen (ist aber trockene Kost):
https://www.ask1.org/threads/stufenlogik-trestone-reloaded-vortrag-apc.17951/

Übrigens ist das einzig märchenhafte an der Geschichte der Schluss,
denn auf das inzwischen 60jährige Kind “Trestone” und seine “Stufenlogik”
hört man nur in Märchen ...

Gruß
Trestone

P.S. Dass die meisten wahren Sätze nicht berweisbar sind leite ich aus dem Unvollständigkeitssatz von Gödel ab,
denn in gewisser Weise hat der gezeigt, dass es eine höhere Unendlichkeit von wahren Sätzen gibt
als beweisbare Sätze - auch wenn er in seinem Beweis wohl nur einen unbeweisbaren wahren Satz vorlegt.
 

SánchezP

Mitglied
Hallo Trestone,

sehr interessant, ich habe den Inhalt des Links mal überflogen, danke. Deinen "Logerick" finde ich klasse:cool:!

Mit Philosophie kenne mich mich überhaupt nicht aus, mit Mathematik dagegen schon. Der von dir erwähnte "Lügnersatz L" entspricht ja dem Barbier-Paradoxon. Wie du aus dem Gödelschen Unvollständigkeitssatz ableitest, dass es eine höhere Unendlichkeit von wahren Sätzen als von beweisbare Sätze gibt, verstehe ich allerdings nicht so genau.

Glaubst du an keinen indirekten Beweis? Z.B. an Euklids Beweis, dass es unendlich viele Primzahlen gibt?

Dass der Cantorsche Diagonalbeweis zu überabzählbaren Mengen in der Stufenlogik nicht mehr funktioniert, ist interessant. Es ist für mich aber tatsächlich überhaupt nicht intuitiv, dass es nur einen Unendlichkeitsbegriff geben kann. Aber vielleicht bin ich in der "herkömmlichen" Logik auch einfach schon zu fest gefahren;).

Viele Grüße
Sánchez
 

Trestone

Mitglied
Hallo Sánchez,

vor 30 Jahren habe ich Mathematik und Philosophie studiert,
aber den Beweis von Gödel nie im letzten Detail untersucht/verstanden.
Was bei mir hängen blieb ist, dass er teilweise analog zu Cantor eine Diagonalisierung
in seinen Beweis eingebaut hat und indirekt vorgeht.
Das hat mich zu dem Analogieschluss mit der Überabzählbarkeit von wahren Sätzen gebracht,
vielleicht habe ich das auch einmal irgendwo gelesen.

Euklids Beweis für die Unendlichkeit der Primzahlen funktioniert auch mit Stufenlogik
(sonst fällt mir kein weiter gültiger indirekter Beweis ein),
aber die Eindeutigkeit der Primzahlzerlegungen gilt nicht mehr,
da sich die Primzerlegungen mit den Stufen ändern können.

Und ja, mein Grundproblem ist, dass ich noch so oft rufen kann, dass der Kaiser nackt ist,
das stört niemanden oder man will es nicht sehen
und ich bin als Kind wohl nicht glaubwürdig genug ...

Gruß
Trestone
 

SánchezP

Mitglied
Hallo Trestone,

vielen Dank für deine ausführlichen Erklärungen!

Euklids Beweis für die Unendlichkeit der Primzahlen funktioniert auch mit Stufenlogik
(sonst fällt mir kein weiter gültiger indirekter Beweis ein)
Das ist interessant. Gibt es eine Erklärung, warum nur genau dieser indirekte Beweis auch mit Stufenlogik funktioniert?

Wie sieht es in der Stufenlogik eigentlich mit dem Auswahlaxiom aus? Muss dieses als Axiom postuliert werden, oder kann die Aussage aus den Grundlagen der Stufenlogik gefolgert werden?

Viele Grüße
Sánchez
 

Trestone

Mitglied
Hallo Sánchez,

nach Wikipedia (Satz von Euklid) liegt das wohl daran, dass der Beweis eigentlich gar kein echter indirekter Beweis ist.
Denn heute starten wir zwar meist mit der Formulierung "Angenommen, es gibt nur n Primzahlen ...",
aber eigentlich wird das nur für Aufzählungen und Fallunterscheidungen genutzt,
d. h. es lassen sich immer neue Primzahlen konstruieren, der Widerspruch zur Endlichkeit ist nicht wesentlich.

Theoretisch wären indirekte Beweise denkbar, die sich nur innerhalb einer Stufe bewegen.
diese wären dann auch mit Stufenlogik weiter gültig.
Bei meiner Analyse von Beweisen bin ich aber immer darauf gestoßen, dass ein Teilergebnis von einem anderen abhängig war,
was in der Stufenlogik stets eine Stufenerhöhung nach sich zieht.

Die Stufenmengenlehre ist so einfach (und nahe an der klassischen Cantorschen Mengenlehre),
dass ich das Auswahlaxiom noch nicht dazu betrachtet habe
(wäre vielleicht auch etwas kompliziert, ich bin ja nur Hobby-Forscher).
Der Wohlordnungssatz soll ja gleichwertig sein,
dessen Gültigkeit kann ich mir gut für die Stufenmengenlehre vorstellen, habe aber keinen Beweis.

In der Stufenmengenlehre ist vieles einfacher weil es nur eine Art von Unendlich gibt, die abzählbar unendichen Mengen.
Auch die Menge aller Mengen All ist in der Stufenmengenlehre eine Menge.
Da sie zu ihrer Potenzmenge (=All) über die Identität in Bijektion steht, gilt der Satz von Cantor nicht mehr,
der in den meisten anderen Mengenlehren so viele verschiedene Unendlichkeiten hervorbringt.

(Die ich mit Ptolomäischen Epizykeln vergleiche,
auch wenn David Hilbert vom "Paradies von Cantor" sprach,
aus dem sich die Mathematiker nicht mehr vetreiben lassen.)

Weitere Details zur Stufenlogik und Stufenmengenlehre finden sich hier:
https://www.ask1.org/threads/stufenlogik-trestone-reloaded-vortrag-apc.17951/

Aber das führt vielleicht etwas weit von dem Märchen hier weg ...

Gruß
Trestone
 

SánchezP

Mitglied
Hallo Trestone,

vielen Dank für deine detaillierte Antwort!

Stimmt, das war mir gar nicht mehr bewusst: Euklids Beweis kommt in der Tat mit Fallunterscheidungen aus. Danke für den Hinweis!

Die Frage mit dem Auswahlaxiom hatte ich gestellt, weil mich das in der "herkömmlichen" Logik etwas stört.

Viele Grüße
Sánchez
 

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