Fermat'sche Primzahlen

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SánchezP

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Hallo Bernd,

als (bereits geouteter) Mathematiker auf der Leselupe finde ich es toll, hier ein mathematisch angehauchtes Gedicht zu entdecken:)!

mathematische Anmerkungen:
  • Dass "Zirkel und Lineal reichen" bezieht sich wohl auf die Tatsache, dass n-seitige regelmäßige Polygone genau dann mit Zirkel und Lineal konstruiert werden können, wenn n das Produkt einer Zweierpotenz und paarweise disjunkter Fermat-Primzahlen ist?
  • Jede Zahl der Form 2^(2^n)+1 ist ja als Fermat-Zahl definiert, aber es wird vermutet, dass nur die 5 Fermat-Zahlen aus deinem Gedicht auch tatsächlich Primzahlen sind. Könnte man das ggf. noch ins Gedicht einbauen?
  • Neben den Fermat-Zahlen gibt es ja auch die Mersenne-Zahlen, die von der Form 2^n -1 sind. Im Gegensatz zu den Fermat-Zahlen sind hier schon mehrere Primzahlen dieser Art explizit bekannt, und man vermutet sogar, dass es unendlich viele Mersenne-Primzahlen gibt.
poetische Anmerkung (mit Vorsicht zu genießen;), du weißt ja, dass ich bisher erst ein einziges Gedicht verfasst habe):
  • In Anbetracht der letzten mathematischen Anmerkung hätte ich folgenden Vorschlag für eine weitere Strophe:


Mersenne'sche Primzahlen
3, 7, 31, 127, 8191, ...
sind Kölsche Jungs
im Dualsystem​

11
111
11111
1111111
1111111111111
...​

Zirkel und Lineal
sind hier natürlich ganz egal.
 

Bernd

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Danke sehr. Deine Strophe funktioniert gut.

Über mathematische Palindrome gibt es ein schönes Buch: "Ein Esel lese nie!" von Kröber.
 
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Mondnein

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Alle (2 hoch 2 hoch n) + 1 seien Palindrome - klingt erst mal kompliziert, aber es verbreitert sich schlicht auf alle Zahlen, die mit Eins anfangen, mit Eins enden und dazwischen nur Nullen haben. Zum Beispiel (10 hoch eins) + 1, (10 hoch 2) + 1, (10 hoch 3) + 1, (10 hoch vier) + 1 usw., das wären 11, 101, 1001, 10001 usw.
So bilden alle Zahlen, die mit einer Eins anfangen (wie z.B. die Potenzierungen im Zehnersystem) und dann nur noch Nullen haben, sobald sie potenziert werden, so eine Eins mit Nullerrattenschwanz. Zählt man noch eine Eins hinzu, als deren Ende bzw. Einerstelle, hat man Palindrome.

Klappt aber außer im Dualsystem nur beim uns geläufigen Zehnersystem und dann beim Hunderter-, Tausender- Zehntausender-usw.-System, da sonst bei "hoch Eins" eine Zahl da stünde, die nicht aus Einsen und Nullen besteht. Und klappt nicht bei n hoch Null in jedem beliebigen System, da dann eine Zahl zur 1 hinzugezählt werden müßte, die nicht wie eine Eins mit einem Einserstellennachbarn aussähe. Klappt deshalb auch nicht bei (10 hoch Null) + 1, denn das wäre 2. Aber ich denke, ab "hoch zwei" könnte jede schlichte Potenzierung in jedem Zahlensystem, sobald man 1 addiert, so eine 1 mit Nullerrattenschwanz und abschließender 1 in der Einerstelle bilden.

Bitte entschuldige mein naives Gebrabbel, Bernd, ich muß so weit unten anfangen, ums nachzuvollziehen. Aber es hat Spaß gemacht, mal ein wenig in das Konzept der Fermatschen Zahlen hineinzuschauen (und gleich eine Stufe tiefer zu steigen, in die bloße Potenzierung xbeliebiger n "hoch n" statt in Fermats Potenzierung der 2 mit "2 hoch n"), und ins Dualsystem der puren logischen Unmittelbarkeit.

grusz, hansz
 

Bernd

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Ja, das funktioniert in vielen Zahlensystemen.

Andere Palindrome sind:

1
121
12321
1234321
123454321
12345654321
1234567654321
123456787654321
12345678987654321 (Im Dezimalsystem wäre hier Schluss.)

Einen Teil könnte man als Beschreibung von Strophenformen nehmen.

1234321 eignet sich für

Da
gehen
neun Ziffern
langsam umher,
neun Ziffern
gehen:
da
 
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Mondnein

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Ich vermisse beim bloßen Vorwärts und Rückwärts der Einspluseins-Zahlenfolge den Witz des Gesetzes, die kluge Formel.

Form kann sich ja durchaus Inhalt sein, wie in der (textlosen) Musik,
aber sie muß die Informativität des "synthetischen Urteils" haben (wie Kant die mitteilsamen Prädikationen in der Kritik der reinen Vernunft nennt),
oder vielleicht auch die banale Transparenz des analytischen Urteils (wie Kant die nur sich selbst mitteilenden Prädikationen nennt).
Oder die Enttäuschung einer Erwartung (schadenfroh oder witzig-lustvoll).
 

Bernd

Foren-Redakteur
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Wozu?

Es ist Kunst.
Und wie ich sehe, bist Du ja enttäuscht. also ist die Erwartung in gewisser Hinsicht erfüllt.

Die Besonderheit besteht in der Abgeschlossenheit.

Es gibt zwar unendlich viele Zahlen, aber nur endlich viele Ziffern.

Palindromzahlen sind mathematische Poesie. Und sie sind poetische Mathematik.

Sie wirken wie Wortlose Lyrik in Wörtern.

Eine sehr schöne Quelle sind die Non-Poems von Florentine Smarandache:

(Graphic-Poems ab Seite 11)
Die Quelle ist englisch, aber: es wird kein Englisch gebraucht, in den meisten Teilen ist es unsprachliche Kunst.


Er erfüllt keine Erwartungen. Denn man erwartet es nicht.
 

Bernd

Foren-Redakteur
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Ps: Hallo, Monndnein, ich danke Dir natürlich für die Zeilen. Sie sind sehr anregend. Ich habe meine Erklärung etwas übergangslos angefügt.
Das will ich auch nicht ändern. Ich füge den Übergang deshalb hinten an.
 

Mondnein

Foren-Redakteur
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"Es ist Kunst" - ja, das wesentliche Argument, absolut.

Ich wollte, und darüber habe ich die letzten Tage oft nachgedacht, das Beispiel irgendeiner Ziffernfolge bieten, die nicht so geordnet auf- und abzählt wie "0123456789876543210". Aber nun sehe ich das mit der Pi-Ziffernfolge. Das wäre eine "gesetzlose", scheinbar beliebige, die zugleich absolut stabil ist, so daß sie an keiner Stelle nach Belieben geändert werden kann.
 

Bernd

Foren-Redakteur
Teammitglied
Die "1,2,3 ... " Folge ist endlich, während Pi unendlich ist.


Man kann die Pi-Folge auch in einem speziellen Formgedicht verwenden:

Was ist Pi?

Pi
ist eine interessante Zahl,
die
sehr viele spezielle Eigenschaften hat:
Ich kann sie für eine unendlich lange Strophe verwenden,
dabei zeigt
jeder Vers eine Ziffer von Pi,
...
 

SánchezP

Mitglied
Das ist ein guter Ansatzpunkt, Mondnein. Allerdings ist Pi – wie du korrekterweise schreibst – nur scheinbar beliebig. Konkret: Es wird vermutet, dass Pi ein sog. "normale" Zahl ist, und damit insbesondere in den Nachkommastellen von Pi für jede natürliche Zahl n alle n-stelligen Zifferblöcke vorkommen. Dies ist aber (noch) nicht bewiesen.

Es gibt tatsächlich normale Zahlen, welche uns im Allgemeinen aber nicht konkret bekannt sind. Dabei gibt es natürlich Ausnahmen, wie etwa die Champernowne-Zahl.

Noch interessanter ist allerdings die Tatsache, dass "Normalität" im obigen Sinne eine generische Eigenschaft reeller Zahlen ist. Émile Borel bewies nämlich im letzten Jahrhundert, dass "fast alle" reellen Zahlen normal sind (der Begriff "fast alle" ist in der Mathematik natürlich explizit definiert; in unserem Falle bedeutet dies, dass das Lebesgue-Maß der Menge aller nicht-normalen Zahlen den Wert 0 hat).

Es ist also in etwa wie ein nächtlicher Blick in den wolkenlosen Sternenhimmel: Wir sehen nur die Sterne, welche aber die Ausnahme darstellen – die schwarze Masse drumherum ist eigentlich der Normalfall, uns aber nicht explizit bekannt.

Was du hier mit "absolut stabil" (im mathematischen Sinne) meinst, verstehe ich nicht.
 
Form kann sich ja durchaus Inhalt sein, wie in der (textlosen) Musik,
aber sie muß die Informativität des "synthetischen Urteils" haben (wie Kant die mitteilsamen Prädikationen in der Kritik der reinen Vernunft nennt),
oder vielleicht auch die banale Transparenz des analytischen Urteils (wie Kant die nur sich selbst mitteilenden Prädikationen nennt).
Oder die Enttäuschung einer Erwartung (schadenfroh oder witzig-lustvoll).

verstehe ich dich richtig, hansz? bestreitest du, dass eine vollkommene Synthese von Form und Inhalt in der Poesie möglich wäre? dann würde ich nämlich widersprechen.

ein bespiel;

frei sein vom zwang
frei sein vom zwang
frei sein vom zwang
frei sein vom zwang
frei sein vom zwang
frei sein vom zwang
frei sein vom zwang
frei sein vom zwang
frei sein vom zwang
frei sein vom zwang
frei sein vom zwang
frei sein vom zwang
frei sein vom zwang
frei sein vom zwang

wenn der leser sich die frage stellt von welchem zwang er denn frei ist, geht ihm (hoffentlich) auf, dass er frei ist vom zwang den ganzen text zu lesen. er überfliegt ihn nur. so sorgt die formale darstellung dafür, dass der leser den inhalt real erfährt und das unbewusst. eine perfekte synthese von inhalt und form, oder sagen wir lieber, die form gibt dem inhalt erst seinen sinn.

ich halte das in der konkreten poesie für absolut unverzichtbar, dass der inhalt durch die form und die form durch den inhalt beinflusst wird, wenn auch meistens in einer nicht so deutlichen und konkreten form, wie bei dem beispiel...

und das fehlt mir ein bischen bei deinem gedicht bernd. ich sehe abseits der fasziniation für zahlen, keinen grund der mir verständlich macht, warum du diesen text geschrieben hast? hmmm...





Das ist ein guter Ansatzpunkt, Mondnein. Allerdings ist Pi – wie du korrekterweise schreibst – nur scheinbar beliebig. Konkret: Es wird vermutet, dass Pi ein sog. "normale" Zahl ist, und damit insbesondere in den Nachkommastellen von Pi für jede natürliche Zahl n alle n-stelligen Zifferblöcke vorkommen. Dies ist aber (noch) nicht bewiesen.

das ist ein punkt, den ich nie so ganz verstanden habe ... ich hab aber auch keine ahnung von mathematik. aber ... wenn jede ziffernfolge in pi vorkommt, muss sie ja auch unendlich oft vorkommen. heißt das, es ist in der mathematik prinzipiell nicht unmöglich unendlichkeiten zu addieren?


lg euch
patrick
 
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SánchezP

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Hallo Patrick,

hier zumindest eine Antwort, welche den mathematischen Part betrifft: "Normale" Zahlen (zur Basis 10) sind definiert als diejenigen Dezimalzahlen, in deren Nachkommastellen für jede natürliche Zahl n alle n-stelligen Zifferblöcke jeweils mit gleicher relativer Häufigkeit (dafür gibt es auch eine exakte Definition) von 10^(-n) vorkommen. Ist dies der Fall, kommt jeder Ziffernblock insbesondere unendlich oft vor. Allerdings ist die Normalität von Pi nicht bewiesen (man vermutet dies aber).
 

Bernd

Foren-Redakteur
Teammitglied
Wenn Pi normal ist, sind in Pi alle Gedichte im Ascii-Code kodiert enthalten.
Allerdings nicht alle Kombinationen aller sinnvollen und sinnlosen Gedichte in allen Sprachen.

Die unendliche Bibliothek von Borges ( Die Bibliothek von Babel, Jorge Luis Borges ) enthält schon sehr viel.

Sie ist in Pi enthalten, wenn Pi normal ist.

Dagegen ging das Experiment mit den Affen, die bekanntlich irgendwann Shakespeares Werke schreiben, daneben, da sie nicht daran dachten, unendlich lange zu schreiben, sondern die Schreibmaschinen als Pissbecken verwendeten.

 
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SánchezP

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Falls du mit "Kombinationen" die Aneinanderreihung sämtlicher Gedichte in allen Sprachen meinst, wird dieser Ascii-Code im Falle der Normalität von Pi ebenfalls in den Nachkommastellen zu finden sein (da es ja nur endlich viele Gedichte und Sprachen gibt) – und das sogar unendlich oft (wie Patrick oben korrekterweise festgestellt hat)!

Deine Bemerkung zum Affenexperiment würde auf jeden Fall jede Vorlesung über dieses Thema auflockern;).
 


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