Periode 9 (Rondell)

Bernd

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SánchezP

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Hallo Bernd,

sehr schöne Idee!

Allerdings gibt es einen kleinen mathematischen Haken dabei: Null Komma Periode Neun ist nämlich gleich eins:cool: . Deshalb fehlt in der Tat noch nicht einmal ein Bruchstück zur Eins.

Nichtsdestotrotz ein erfrischendes Werk.

Viele Grüße
Sánchez
 

SánchezP

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Hallo Patrick,

das ist auch ein relativ weit verbreiteter Irrglaube;). Ich versuche mal, es formal zu erklären:

Aus x = 0,99999... folgt 10x = 9,99999...

Subtrahiert man nun x auf jeder Seite der Gleichung, so ergibt sich

9x = 9,99999... – x = 9,99999... – 0,99999... = 9

und somit schließlich nach Division durch 9 auch x = 1.

Allgemein gilt, dass die g-adische Entwicklung einer reelen Zahl nur dann eindeutig ist, wenn vorausgesetzt wird, dass unendlich viele Ziffern der Entwicklung ungleich g-1 sind. Das gilt speziell auch für g = 10, also für die Dezimalbruchentwicklung.

Viele Grüße
Sánchez
 

Bernd

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Hallo, Patrick und Sánchez, erst mal vielen Dank.

Zur Theorie dahinter:
Das funktioniert als Grenzwert. Es ist in den reellen Zahlen so definiert.
Man sagt, dass eine Zahl, die sich beliebig der Eins nähert, gleich eins ist.

Also:
Aus x = 0,99999... folgt 10x = 9,99999...


Das stimmt zwar in der Standardanalysis, täuscht aber darüber hinweg, dass die Folgerung auf einem Schritt beruht, den man akzeptieren kann, aber nicht muss.
Zwischen 0,99999... und 1 passen unendlich viele Zahlen.
Die letzte Ziffer von 10x ist 0. oder?
10x=O,999...999...0

Es ist das Paradoxon von Zenon mit dem Pfeil.

Auch die Rechnung mit 1/3=0,3333...
enthält dasselbe Problem.

Es gibt mehrere Lösungsansätze.
Bei hyperreellen Zahlen, zum Beispiel, sind es verschiedene Zahlen.
Zumindest streiten sich die Mathematiker.
Bei reellen Zahlen auf Grundlage Dedekindscher Schnitte sind sie gleich, sie umgehen das Problem durch Definition.
 
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Bernd

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Allgemein gilt, dass die g-adische Entwicklung einer reelen Zahl nur dann eindeutig ist, wenn vorausgesetzt wird, dass unendlich viele Ziffern der Entwicklung ungleich g-1 sind.
Genau.
Im Gedicht habe ich nicht über reelle Zahlen gesprochen, obwohl es auf den ersten Blick so aussieht.
 

SánchezP

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Hallo Bernd,

stimmt, ich habe aus Gewohnheit angenommen, dass du über reelle Zahlen sprichst, obwohl du dies nicht spezifiziert hast, sorry.

Mit hyperreellen Zahlen und Nichtstandardanalysis kenne ich mich nicht so gut aus. Könnte man ggf. einen Hinweis darauf ins Gedicht einbauen (zur Not in die Überschrift)?

Viele Leute denken nämlich tatsächlich, dass auch in den reellen Zahlen Null Komma Periode Neun ungleich Eins ist (und ich wage mal die Behauptung, dass all diejenigen, die das denken, noch nie etwas von hyperreellen Zahlen gehört haben;)).

Das stimmt zwar in der Standardanalysis, täuscht aber darüber hinweg, dass die Folgerung auf einem Schritt beruht, den man akzeptieren kann, aber nicht muss.
Zwischen 0,99999... und 1 passen unendlich viele Zahlen.
Die letzte Ziffer von 10x ist 0. oder?
10x=O,999...999...0
In der Standardanalysis gibt es hier zumindest nicht zu akzeptieren, konvergente Reihen kann man mit Konstanten multiplizieren und diese nach innen ziehen. Es gibt keine "letzte" Ziffer von 0,99999... und zwischen 0,99999... und 1 passt keine weiter Zahl. Wie gesagt, in der Standardanalysis. Ein weiterer schöner Beweis dass hier Null Komma Periode Neun gleich Eins kann durch Verwenden der geometrischen Reihe erlangt werden (in LateX-Code: 0,9999... = 9(\sum_{k=1}^{\infty}10^{-k}) = 9(\frac{1}{1-1/10}-1) = 9(10/9-1) = 10 - 9 = 1).

Viele Grüße
Sánchez
 

Bernd

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Was ich beschrieben habe, entspricht dem intuitiven Verständnis von vielen. Es wird in der Mathematik auch heute noch symbolisch verwendet als dx und dy, allerdings uminterpretiert.
Die Dedekind'schen Schnitte verdecken das Problem.
Heute wird die Gleichsetzung verinnerlicht, vor Allem von Mathematikern.
In der Praxis ist sie gerechtfertigt. Fast nie gibt es Probleme dabei.
Für mich ist es schon bei reellen Zahlen problematisch.

Ich hätte auch schreiben können: Newtons Berechnungen sind berechtigt, wie auch die von Leibnitz.

Periode Neun ungleich Eins ist (und ich wage mal die Behauptung, dass all diejenigen, die das denken, noch nie etwas von hyperreellen Zahlen gehört haben;)).
Das liegt daran, dass die reellen Zahlen vor ca. 100...200 Jahren umdefiniert wurden, um Widersprüche mit der Unendlichkeit zu bereinigen. Man hat das Konzept unendlich kleiner Zahlen durch Intervallschachtelungen ersetzt.
 
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