Vagheit

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Bernd

Foren-Redakteur
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In vielen Diskussionen wird immer gesagt, dass es in der Sprache auf Klarheit und Eindeutigkeit ankäme.
Das bezweifle ich in dieser Allgemeinheit. (Mehrdeutigkeit betrachte ich hier nicht weiter, hier sind einem Wort mehrere Begriffe zugeordnet.)
Sicher gibt es Stellen, wo Eindeutigkeit wichtig ist, aber Eindeutigkeit entspricht selten der Realität, ebensowenig wie Konsistenz, unserer Realität entspricht eher Parakonsistenz, die seit wenigen Jahren untersucht wird.

Hier kommt die Vagheit ins Spiel. Sie erlaubt es uns, zu verallgemeinern, mit Sprache zu spielen und Tatsachen zu beschreiben, die nur ungefähr bekannt sind.

Zur Vagheit gehört, dass selbst "Wahr" und "Falsch" keine absolute Bedeutung haben, sondern nur relativ sind. Das gilt selbst in so genauen Wissenschaften wie der Mathematik.

Nehmen wir einen der einfachsten Begriffe: Primzahl.
Ist eins (1) eine Primzahl?

Das lässt sich nur vage beantworten und wird je nach dem Teilbereich der Mathematik, in dem man sich befindet, unterschiedlich beantwortet.

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Durch Vagheit lassen sich Übergänge beschreiben.

Ein vager Begriff ist zum Beispiel der Haufen.
Wäre er exakt und eindeutig, würde Folgendes nicht zum Paradoxon führen:

1. Ein Sandkorn ist kein Haufen.
2. Gibt man zu einem Gebilde, das kein Haufen ist, ein Sandkorn hinzu, ist es kein Haufen.
3. Also gibt es keine Haufen.

Durch Vagheit lassen sich Abstufungen vereinheitlichen. So sind unsere Farbgruppierungen vage.

Rot hat einen relativ großen Bereich, ebenso blau und die anderen.

Metaphern erlauben lebendige Sprache, aber sie bilden eine vage und ungenaue Abbildung.

Das Wort "vage" selbst ist vage.

Der Duden sagt:

nicht genau, nicht klar umrissen; unbestimmt
Beispiele
vage Versprechungen, Anhaltspunkte, Vermutungen, Andeutungen
ein vager Verdacht
seine Vorstellungen davon sind sehr vage
etwas nur vage andeuten
Und meine Beschreibung ist ebenfalls vage.
 

jon

Foren-Redakteur
Teammitglied
Nehmen wir einen der einfachsten Begriffe: Primzahl.
Ist eins (1) eine Primzahl?
Das lässt sich nur vage beantworten und wird je nach dem Teilbereich der Mathematik, in dem man sich befindet, unterschiedlich beantwort
Echt? Wikipedia sagt (mit Quellenangabe): "Eine Primzahl ist also eine natürliche Zahl, die genau zwei natürliche Zahlen als Teiler hat." 1 ist eine natürliche Zahl, hat aber nur einen natürlichen Teiler (nämlich 1), ist ergo keine Primzahl. - Was ist daran vage?
 

Bernd

Foren-Redakteur
Teammitglied
Es ist erst seit dem 20. Jahrhundert in dieser Form definiert. https://de.wikibooks.org/wiki/Mathematik:_Zahlentheorie:_Warum_1_keine_Primzahl_ist (Quelle)
Und es hängt zum Teil von dem Teilgebiet der Mathematik ab.

Es erforderte eine starke Verkomplizierung der Definition:
Wikipedia:
Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl, die größer als 1 und ausschließlich durch sich selbst und durch 1 ganzzahlig teilbar ist. Eine Primzahl ist also eine natürliche Zahl, die genau zwei natürliche Zahlen als Teiler hat.
Dabei ist diese Definition falsch, die in der Wikipedia steht.
Denn jede Zahl hat beliebig viele natürliche Teiler einschließlich "1".
1=1*1*1...
2=2*1*1*1...

Korrekt wäre: ... die genau zwei unterschiedliche natürliche Teiler hat".

Wenn man aber "1" nicht als "natürlichen Teiler" ansieht, um das Prolem zu umgehen, ist 2 keine Primzahl.

Einfacher wäre:
Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl, außer 1, die ausschließlich durch sich selbst und durch 1 ganzzahlig teilbar ist.
Die Definition der Wikipedia ist vage. Sie enthält eine Reihe Annahmen und Ausnahmen.
 

jon

Foren-Redakteur
Teammitglied
Was denn für Annahmen und Ausnahmen? Klar kann man jede natürliche Zahl beliebig oft durch 1 teilen und bekommt wieder nur natürliche Zahlen als Egebnis, aber es ist immer der selbe Teiler, nämlich 1.

"Wenn man aber "1" nicht als "natürlichen Teiler" ansieht, um das Problem zu umgehen, ist 2 keine Primzahl."
Wieso sollte man 1 als nicht natürlichen Teiler ansehen???? 1 IST eine natürliche Zahl, wie sollte man das denn wegdiskutieren?
Wenn deine Argumenation stimmen würde, wäre ja keine Primzahl eine Primzahl ...

Im Ernst, Bernd, dass Sprache nicht immer bis auf die unterste Eben exakt ist, stimmt ja und ist tatsächlich Voraussetzung für diese und jene gravierend wichtige Funktion von Sprache, aber im Gegensatz zum Haufen-Beispiel funktioniert das mit der Primzahl nicht. Denn ausgerechnet diese Ebene der Algebra ist sowas von exakt.

Ich kenne auch noch die Definition "Eine Prinzahl ist eine natürliche Zahl, die nur durch sich selbst und 1 restlos teilbar ist." Das schloss/schließt im allgemeinen Verständnis die 1 mit ein. Allerdings ganau mit dem Dilemma, dass man den einen Teiler doppelt akzeptiert, was mathematisch nicht wiklich sinnvoll ist.
 

Bernd

Foren-Redakteur
Teammitglied
Du hast es richtig erkannt. Nach der Wikipedia-Definition gibt es strenggenommen keine Primzahl.

Strenggenommen ist sie falsch. Sie hat aber einen vagen Anteil, wir wissen, was gemeint ist.

Die folgende Definition ist viel genauer:
"Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl, die nur durch sich selbst und 1 restlos teilbar ist."

Es ist aber nicht die "normale" heutige Definition. Diese Definition bedeutet, dass Eins eine Primzahl ist.

Heute gilt die Definition:
"Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl außer 1, die nur durch sich selbst und 1 restlos teilbar ist."

Die zweite Definition hat sich in der Zahlentheorie durchgesetzt, weil Beweise und Formulierungen damit einfacher werden.



Aus welchen Gründen auch immer hat jemand in der Wikipedia eine andere Definition gewählt, die letztlich zur Konsequent führt, dass es keine Primzahl gibt.

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Es gibt einen Unterschied zur allgemeinen Vagheit: Wenn ich nur zwischen den Definitionen entscheide, ist die Entscheidung nicht vage, denn sie ist eindeutig. (Solange ich mich in der zweiwertigen Logik bewege.)
Die Wikipedia-Definition dagegen ist es.

Es gibt auch Gründe, die 1 mit aufzunehmen.
Zumindest in einem Teilgebiet der Mathematik.

Da es eine Definiton ist, kann man nicht sagen, sie sei richtig oder falsch, sondern nur zweckmäßig oder nicht zweckmäßig.

Aber all diese Begriffe enthalten Vagheit.
 


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