primzahlen (Sonett)

Hallo Mondnein

danke für die wie immer ausführliche Antwort. Natürlich hast du recht, was die Sonderstellung der Mathematik angeht, die den Naturwissenschaften als Werkzeug dient. Wollte auch nichts Gegenteiliges behaupten.

Nochmal zur Harmonie der Töne und Tonleitern. Für mich bleibt die emotionale Antwort des Menschen auf die Musik dennoch ein Geheimnis. Was macht den Moll-Klang/Akkord für uns so traurig, und Dur eben heiter (zumindest im Vergleich)? Irgendetwas 'passiert' ja in unserem Hirn, wenn akkustische Schwingungen in Empfindungen umgesetzt werden.
Es stimmt ja auch, dass verschiedene Kulturen verschiedene Arten von Musik entwickelt haben und sicher auch eigene Modelle, um die Harmonie 'ihrer' Tonleitern zu beschreiben.

Nun, ich habe Muskik nicht weiter studiert; nur im Wohnheim tapfer geklampft, zum Leidwesen der anderen Studenten. Die mathematische Zerlegung der Dinge war mir damals egal. Neue und 'schräge' Akkorde (emotionale Empfindung = 'klingt geil') zu finden und einzubauen, war es nicht. Leider ist das fast 30 Jahre her ...

LG
Tula

Danke Dir, Bernd!
Diese konzentrierten Pi-Verse übertreffen an Weisheit meine auf Banales gerichteten Quartette und Terzette bei weitem, sehr, sehr!
Wunderbare Erkenntnisse, in die ich mich, so gut ich kann (aber ich bin da auf mediokre Weise moderater als ein Moderator) vertiefen will!

Danke Tula!
Du berührst so nebenher eines der größten Probleme der Ableitung von Harmonien aus der Teiltonreihe: Das Problem der Subdominante (die im Unterschied zur Dominante nicht in der Teiltonreihe enthalten ist) und das Problem der Molltonleiter und der modalen Leitern, die vom Grundton aus nach oben eine kleine statt einer großen Terz haben.
http://12koerbe.de/arche/wasmusik.htm

Ja, die subharmonische Tonreihe ...
Da gab es wenige Instrumente.

Ich würde zum Einstieg in das Thema Tonleitern und Harmonien einen Blick auf diese Seite empfehlen: https://de.wikipedia.org/wiki/Oberton
Dort wird sehr anschaulich das Zustandekommen einer Tonskala der reinen Stimmung erklärt.
Ich schreibe absichtlich Tonskala, weil diese aus den reinen Obertönen abgeleitete Skala keiner in der Musik verwendeten Tonleitern entspricht . Man achte nur einmal auf die Naturseptime und die Quarte, die um fast 50 Cent über der gebräuchlichen Septime liegen, das entspricht etwa der Hälfte eines chromatischen Halbtonschrittes, z.B. c-c#) . Jetzt versteht man auch, warum im Orchester ein Albhorn schnell zum Albhorn würde.

Zu mondneins Musik-Seite:
Ich kann diese hymnische Begeisterung, in der alles Kulturelle mit kosmischen Gesetzen in "Einklang" gebracht wird, nicht nachvollziehen. Ich sehe Pragmatismus, Konvention, Tradition und fromme Lügen zur Kultur im Allgemeinen und zur Musik im Besonderen den größeren Beitrag leisten.

Genau diesen Nerv hat auch dieses Gedicht getroffen: Es schwelgt in einer pseudorationalen Weltsicht, die größtenteils aus einer Autosuggestion entstanden ist. (Das wird man ja wohl noch mal sagen dürfen.)


Grüße
JB

Korrektur

ein Alphorn schnell zum Albhorn

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Klar darfst Du das sagen, James.

Ich jedenfalls freue mich immer neu an der Autosuggestion des Eratosthenes-Siebs, an der Vernetzung der Primfaktoren.

Das war ein beachtenswertes Teil ...

Auch ich kann mich an der Mathematik begeistern - solange sie nicht zur Metaphysik ausartet.

Grüße
JB

hallo ihr lieben,

laßt eure strings vibrieren und freut euch am text.

lg W.

Tun wir ...

Danke, Walther,
für das Hindurchblicken durch das Produkt der Beiträge in "ihrer Prim-Erfahrung Ursprungs-Schwingung Schwung".

James Blond schrieb:

die absichtlichen und unabsichtlichen Betrügereien unserer Sinne erfahren

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Diese kommen besonders in optischen Täuschungen zum Ausdruck. Auch die Primzahlspirale ist eigentlich eine Täuschung. Das Gehirn setzt Muster zusammen, wo es geht.

Walther schrieb:

hallo ihr lieben,

laßt eure strings vibrieren und freut euch am text.

lg W.

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Good vibrations ... wie die von Brian Wilson.

Das im Grunde Irrationalste im Eratosthenes-Netz der Primzahlen, die so etwas wie das Periodensystem der Elemente bezogen auf die Multiplikation der Natürlichen Zahlen sind, schien (und scheint) mir die simple Addition +1 längs der Aufzählungs-"Reihe" der Natürlichen Zahlen zu sein: Warum folgt auf 2 hoch 2 die prime Fünf, dann dieser 2 x 3, dann die prime Sieben, dann 2 hoch 3, dann 3 hoch 2, dann 2 x 5, dann die prime 11, und so fort - das sieht aus wie Columbo, der "aussieht wie ein ungemachtes Bett".

Was für ein Chaos!

Wenn ich zu schriftlichen Abiturprüfungen Aufsicht sitze, wo ich nicht offen arbeiten darf, pflege ich stundenlang die sogenannte Harmonische Reihe durchzudenken, immer parallel zu den entsprechenden Obertönen (bzw. Teiltönen), anfangend vom Grundton, dessen Oktavierung, der Quinte darüber, der Oktavierung der Oktavierung, dann kommt der Dur-Dreiklang, dann das anthropophische Lieblingsintervall von James, dann die Oktavierung der Oktavierung der Oktavierung, dann zwei Varianten der großen Sekunde usw., und dann lauere ich darauf, wie nach der mehrfach oktavierten Quinte denn die untere große Mediante (also nach einem G ein As) auftaucht und welchem Produkt sie entspricht? Ja, 25. Teilton nach dem 24. Sieht gut aus: Große Terz auf der großen Terz.

Und wenn ich dann im Kopf ausrechnen will, ob der 23. Teilton mit sich selbst multipliziert dem oktavierten Grundton schwer unterscheidbar nahekommt, ist die Aufsichtszeit vorbei und ich darf wieder aufwachen.

grusz, hansz

Primzahlen in der Uhrenarithmetik sind auch sehr interessant.

Und bei den Primzahlen:
Die Mischung von Regelmäßigkeit und Unregelmäßigkeit bei der Primzahlspirale (Ulamspirale).

Mondnein schrieb:

Das im Grunde Irrationalste im Eratosthenes-Netz der Primzahlen, die so etwas wie das Periodensystem der Elemente bezogen auf die Multiplikation der Natürlichen Zahlen sind, schien (und scheint) mir die simple Addition +1 längs der Aufzählungs-"Reihe" der Natürlichen Zahlen zu sein:

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Die "simple Addition+1" ist auch nichts anderes als eine Multiplikation der Natürlichen Zahlen, oder anders herum ausgedrückt, ist jede Multiplikation nichts anderes als eine wiederholte Addition der gleichen Zahl : 5 = 5 • 1 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1
Primzahlen sind demnach Zahlen, die nur aus der wiederholten Addition von 1 erzeugt werden können. Die 1 besitzt damit exclusiv die Fähigkeit zur Hervorbringung aller Natürlichen Zahlen.

Der eindimensionale Zahlenstrahl ist die natürliche Anordnung der Zahlen. Jede mehrdimensionale Zahlentabelle beinhaltet eine willkürliche Einteilung im Unterschied zum Periodensystem der Elemente.

Die Tonintervalle der reinen Stimmung ergeben sich zum Teil aus dem Frequenzverhältnis benachbarter Natürlicher Zahlen:
1:1 Prim (Dur, Moll)
2:1 Oktave (Dur, Moll)
3:2 Quinte (Dur, Moll)
4:3 Quarte (Dur, Moll)
5:4 große Terz (Dur)
6:5 kleine Terz (Moll)
7:6 nicht verwendet
8:7 nicht verwendet
9:8 große Sekunde (Dur)

zusätzlich werden zu einer vollständigen Tonleiter in reiner Stimmung noch andere Intervalle herangezogen:
8:5 kleine Sexte (Moll)
9:5 kleine Septime (Moll)
15:8 große Septime (Dur)

Die Harmonische Reihe summiert alle Quotienten 1/n für n=1,2,3, ...

Worin liegt nun der Zusammenhang zwischen Intervallen der reinen Stimmung und der Harmonischen Reihe?

Die "simple Addition+1" ist auch nichts anderes als eine Multiplikation der Natürlichen Zahlen, oder anders herum ausgedrückt, ist jede Multiplikation nichts anderes als eine wiederholte Addition der gleichen Zahl : 5 = 5 • 1 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1
Primzahlen sind demnach Zahlen, die nur aus der wiederholten Addition von 1 erzeugt werden können.

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tut mir leid, verstehe ich nicht, James.
Es bleibt ein "ungemachtes Bett".
Prim zu sein leitet sich nicht aus der iterierten Addition von 1 bzw. aus dem peanoschen Nachfolger-Axiom ab.

grusz, hansz

Natürlich bin ich nicht mehr so müde und blöd wie bei der verfluchten Abituraufsicht mit Untätigkeitsanschein, und rechne jetzt so nebenher leicht 23 x 23 aus, um zu sehen, daß der Fasttritonus auf sich selbst angewandt (also die gesuchte Nähe oder Fastidentität von Tritonus auf den Tritonus) einer Zweierpotenz (also einer Oktavierung des Grundtons) ziemlich nahekommt:
23 x 23 = 460 + 69 = 529;
2 hoch 9 = 512
Die Differenz (19) beträgt etwa 4 %.

Naja, ist nicht ganz so unhörbar nahe wie die Terz auf der Terz auf der Terz (5 x 5 x 5 = 125) der 128 (= 2 hoch 7).

Ich weiß, das ist primitive Faszination am Banalen.
So bin ich nun mal.

Was mich in der Imagination, die ins Primzahlensonett versprachlicht worden ist, am stärksten bezaubert hat, ist die Überkreuzung der Multiplikationsreihen, so daß jedes Produkt die ihm immanenten Faktoren als Dimensionen durchscheinen läßt.

Mann, ist das schön, dieses multidimensionale Gewebe!

Neben all diesen Schönen Harmonien gibt es das Subharchord.

Bei diesem sind die Harmonien so aufgebaut:

1,1/2,1/3,1/4, ...

Es wurde für Filmmusik verwendet.

Wenn man diese Zahlen addiert mit dem Grenzwert unendlich, kommt unendlich heraus.
Das geschieht auch, wenn man die Kehrwerte der Primzahlen addiert.

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In der Musik wurde im 18. Jahrhundert (denke ich) die temperierte Stimmung eingeführt. Dabei wird der Abstand zwischen den Tönen ausgeglichen.

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Danke, Bernd, für das Wiederaufgreifen des Sonetts.
Und die Anmerkung zum Untertonreihen-Instrument. Und den Hinweis auf die Unendlichkeit, auf die die Addition der Brüche hinausläuft, obwohl die addierten Brüche doch immer kleiner werden, - das ist erstaunlich.

Mir selbst kommt beim Lesen nach längerer Zeit die Sichtweise in die Sicht: Hier ginge es um abstrakten Zahlenkram, so als wolle da jemand irgendwas Ungewohntes, Ungewöhnliches vorweisen. Sowas wie ein Gedicht aus den Sonderzeichen und Zahlen der obersten Reihe (aber unter den F-Tasten) der Tastaturen. Wie, wenn man ein Musikstück aus Fliegengesumm bastelt, und das ist dann noch konventionell-tonal wie die Reime eines Sonetts sich geben.

Aber die fruchtbarere Sichtweise ist die: Daß wir zwar keine Telepathen sind, die einander die Gedanken lesen können, solange es um die individuellen Empfindungen und Sinnesperspektiven geht. Aber daß wir in gemeinsame geistige Räume einsteigen, sobald wir die Muster der Gesetzmäßigkeiten und ihrer Zufallsspiele auszuloten versuchen. Das macht nicht nur in der Metaphysik viel ästhetische Freude, - so ging es mit gestern beim Wiederlesen des "liber de causis". Elementarbuch der universitären Scholastiker, z.B. in Paris, wo der Streit über "Averroismus" losbrach.
Sondern auch in den Wissensräumen der Mathematik. Es genügt schon ein Nachdenken über die Zahl Zwei, um in das hineinzugehen, was Menschen unter dieser Zahl verstehen. Natürlich sind alle Sprachräume solche Gemeinsamkeitsfelder, überindividuell, den Sinnen transzendent, von symmetrischen Logikgittern geometrisiert. Aber die geistigen Gemeinsamkeiten des Begreifens in den elementaren Gedanken - was zum Beispiel die "Zwei" bedeutet, was man mit Kenntnis dieser Zahl weiß - das ist keine bloße Spielerei. Das ist konkrete Überzeitlichkeit, Konkretisierung der prima causa. Poesie.

grusz, hansz