Um die Komischen Zahlen auf eine solide mathematische Grundlage zu stellen, kann man sich der Mengentheorie bedienen. (Auch der Physik, insbesondere der Ballistik, doch das führte in der Vergangenheit öfters zu tödlichen Unfällen, deshalb wurden Duelle verboten.)
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So lässt sich eine Zuordnung zwischen den gewöhnlichen Zahlen und den komischen Zahlen einfach finden.
(1)<=>(0,1,2)
(2)<=>(1,2,3)
(0)<=>(-1,0,1) im Bereich der ganzen komischen Zahlen, für die natürlich komischen Zahlen gilt:
(0)<=>(,0,1) (was offensichtlich ist, da die 0 keinen kleineren Nachbarn hat.)
(Bemerkungen, es gelte (0)=(Z,0,1), lassen sich nicht wiederlegen, deshalb gibt es für diesen Fall eine alternative Mathematik.
Dabei ist Z folgendermaßen definiert:
Z ist diejenige natürliche Zahl, für die gilt:
(0)<=>(Z,0,1) --- was dann ebenfalls offensichtlich ist.
Die beiden Mathematiken verhalten sich zueinander etwa wie die Euklidische und die nichteukllidische Geometrie.
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Definition:
Zk==k(K-1,K,K+1), wobei K der Zählindex der komischen Zahl sei, k die Zahl und Zk ihre Representation.
Im Bereich der Ganzen Zahlen gilt also zum Beispiel:
2=k(1,2,3)
Im Bereich der rationalen Zahlen gilt:
2.=k(1,2,3)==K(2.-d,2.,2.+d)
Wobei d der Wert der auf zwei folgenden nächsten rationalen Zahlen sei.
Im Bereich der Reellen Zahlen gilt das ähnlich, aber doch anders, da es unendlich viele d gibt.
Hier gilt:
2.=k({1},2,{3})==K(2.-{d},2.,2.+{d})
mit {d} ist der entsprechende Wert für alle Nachbarn, die ja zugleich gleich und unterschiedlich sind.
Sehr unterschiedliche Nachbarn (ds) werden dabei ausgeschlossen, sie sind in der Menge nicht vertreten.
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Komische Zahlen finden Anwendung in der Physik, in der Ökonomie und im Spielkasino.
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Dank Kinnla sind die ersten Grundrechenarten kein Geheimnis mehr.
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Untersuchungen sollen zeigen, ob eines der beiden Bänder weggefiltert werden kann, (Einseitenzahltechnik, ESZ)
In der Einseitenzahldarstellung gilt zum Beispiel:
2.=k(1,2)==K(2.-d,2.)
augenscheinlich kann durch Spiegelung die eigentliche komische Zahl regeneriert werden.
Unklar ist dabei das Problem der Symmetriebrechung bei der Null.
(0)<=>(,0) in ESZ-Darstellung.
Gilt hier
(0)<=>(,0,-)
oder
(0)<=>(Z,0,-Z) ? (mit -Z=1)? Das würde ja zugleich Z definieren.
Doch dazu ist erst ein weiteres Duell im Morgengrauen erforderlich, um zugunsten einer der Varianten entscheiden zu können.