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SánchezP

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Hallo Bernd,

du hast aber Folgendes geschrieben:
Bei den reellen Zahlen ist 0,999... per Definition =1 --- Die Definition wurde durch Intervallschachtelungen so festgelegt.

In anderen Zahlensystemen ist das nicht unbedingt der Fall.
Reelle Zahlen sind so definiert, dass das nicht auftritt. 0.999... kann keine reelle Zahl sein, wenn man nicht rundet.

Deshalb beziehe ich mich auch auf reelle Zahlen. Ich will hier einfach nur klarstellen, dass im Falle von reellen Zahlen 0,99999... = 1 gilt, und zwar ohne etwas "wegzudefinieren". Es folgt lediglich aus logischen Schlussfolgerungen aus dem Supremumsprinzip, das auf dem Schnittaxiom basiert, welches meiner Meinung nach sehr anschaulich ist, wenn man sich bspw. einen Zahlenstrahl betrachtet. Das ist sehr wichtig zu verstehen, denn ist ist ein hervorragendes Beispiel dafür, wie die Mathematik (basierend auf ein paar wenigen – anschaulichen – Axiomen) logisch aufgebaut ist.

Falls man das Schnittaxiom nicht akzeptiert, kann man bspw. auch das von dir erwähnte Intervallschachtelungsprinzip als Axiom hernehmen und darauf aufbauen. Aber auch mit diesem Ansatz bleiben die Ergebnisse die gleichen.

Wenn ich sie vermischt hätte, hätte ich nicht erwähnt, dass es eine Wertzuordnung durch die Cesaro-Summation ist.
Das ist mir bewusst, aber dein Beispiel trägt nichts zur Diskussion bei. Es bringt ja nichts zu sagen, dass eine Reihe konvergiert, aber eine andere Reihe (in deinem Fall die Reihe der arithmetischen Mittel der Folgenglieder der ursprünglich betrachteten Reihe) divergiert. Von einem meiner Professoren hatte ich mal den schönen Satz "Nicht alles was hinkt, ist ein Beispiel" gehört ;).

Wie auch immer, ich wage mal eine Zusammenfassung: Natürlich werden in der Mathematik Axiome (Spielregeln) benötigt. Aber ausgehend davon wird stets nur durch logische Schlüsse gefolgert, ohne Dinge "wegzudefinieren" o.Ä. In den reellen Zahlen sind somit 0,99999... und 1 einfach zwei verschiedene Darstellungen für das gleiche Objekt. Da die Nichtstandardanalysis auf andere Spielregeln setzt, können hier im Allgemeinen natürlich andere Ergebnisse als in der "Standardanalysis " vorkommen.

Viele Grüße
Sánchez
 

Bernd

Foren-Redakteur
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Ich hatte mich verschrieben, ich meinte: "Nichtstandardanalysis"
Deshalb beziehe ich mich auch auf reelle Zahlen. Ich will hier einfach nur klarstellen, dass im Falle von reellen Zahlen 0,99999... = 1 gilt, und zwar ohne etwas "wegzudefinieren".
Es war im 18. und zu Beginn des 19. Jahrhunderts. da wurde es entsprechend definiert. Man war misstrauisch gegen unendlich kleine Zahlen. Und man war misstrauisch gegen Unendlich als Zahl. Es wurde grundlegend neu festgelegt, was reelle Zahlen sind.
Die dabei übrigbleibenden Probleme sind dann durch entsprechende Definition beseitigt.
Diese Definition ist aber nur eine von mehreren möglichen. Sie ist eine Spielregel.
Wenn man sie anwendet, ist 0.999...=1 ohne jede Einschränkung.

Das ist sehr wenig intuitiv und schwierig zu handhaben.

Es wird zum Beweisen verwendet, aber nicht zum Veranschaulichen.

In der Schule hatten wir noch "Infinitesimalrechnung". Im Studium wurde das durch "Analysis" ersetzt. Die Epsilon-Umgebung wurde entscheidender und Begriffe wie Supremum etc.

Völlig unklar ist mir die Symmetrieverletzung beim Supremum.

Es müsste völlig egal sein, ob man die untere oder die obere Grenze nimmt.

Grenzübergang ist mit der "Newtonschen" Methoden sehr einfach und intuitiv. Erläutert wurde er fast immer mit den Newtonschen Darstellungen. Für Beweise wurden eine Art Intervallschachtelungen verwendet.

Die Spielregeln sind die Definitionen und die Axiome.
"Wegdefinieren" ist vielleicht missverständlich. Es klingt pejorativ, was es nicht sein soll.


Neutraler ist: So definiert, dass die unendlich kleinen Größen nicht mehr vorkommen.

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Ich habe vergessen, wie der Wedt heißt. 0,999... hat am Ende ja einen Grundwert von 1. er enthält aber die Möglichkeit von unendlich vielen unendlich kleinen Abweichungen.

Wenn man 1 als Maßzahl betrachtet, kann man einen kompletten Mengerschwamm daraus entfernen, ohne dass sich das Maß ändert.

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Die Analogie von 1+2+4... und 0.9+0.99+0.999 ... bei den Rechenbeispielen ist nicht von mir, er stammt von Rudolf Taschner, einem Professor aus Österreich.
Und es betrifft nur die Technik der Berechnung.

Ich habe in keinerlei solchen Beweisen gesehen, dass jemand von konvergenten Reihen gesprochen hätte.

Da warst Du der erste.

Wir erhalten Widersprüche. So ist die Multiplikation unendlich langer Zahlen mit 10 zunächst mal nicht definiert.

Man kann es definieren. In den vorliegenden Beweisen wird es implizit gemacht.
Das sind aber schon Spielregeln.

Der Übergang von den Newton-Spielregeln zu den "neuen" erfolgte im Wesentlichen im 19. Jahrhundert, in der Schule wa er aber 1970 noch nicht abgeschlossen.
Wohl aber begonnen. Ich lernte noch beide Betrachtungswesen.
 

Bernd

Foren-Redakteur
Teammitglied
In den reellen Zahlen sind somit 0,99999... und 1 einfach zwei verschiedene Darstellungen für das gleiche Objekt. Da die Nichtstandardanalysis auf andere Spielregeln setzt, können hier im Allgemeinen natürlich andere Ergebnisse als in der "Standardanalysis " vorkommen.
Bei normalen Integrationen und Differentiationen kommt das gleiche heraus. Nur wird "unendlich" als Zahl betrachtet, ebenso wie "unendlich klein".
 

SánchezP

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Die Analogie von 1+2+4... und 0.9+0.99+0.999 ... bei den Rechenbeispielen ist nicht von mir, er stammt von Rudolf Taschner, einem Professor aus Österreich.
Und es betrifft nur die Technik der Berechnung.

Ich habe in keinerlei solchen Beweisen gesehen, dass jemand von konvergenten Reihen gesprochen hätte.

Da warst Du der erste.
Das ist sehr problematisch, denn in der Analysis ist der Konvergenzbegriff einer der wichtigsten (und schönsten) überhaupt. Daher lernt man das bereits im ersten Semester. Wie wichtig diese Grundlagen sind, sieht man bspw. an den obigen falschen Berechnungen mit divergenten Reihen. Aber ich bin bei weitem nicht der Erste, der das so sieht – sonst wäre ich ja ein Genie ;). Die ganze bekannte "Standard"-Analysis beruht darauf.


Wir erhalten Widersprüche. So ist die Multiplikation unendlich langer Zahlen mit 10 zunächst mal nicht definiert. .
Und in dieser gibt es auch keine Widersprüche. Ich nehme an, du meinst hier unendliche Dezimalbruchentwicklungen; natürlich kann man solche Zahlen mit 10 multiplizieren (bspw. 10 * Pi = 31,4159265359..., hier verschiebt sich lediglich das Komma um eine Stelle nach rechts).

Ich persönlich empfinde die "Standard"-Analysis auf jeden Fall sowohl schöner und nützlicher als auch intuitiver und vor allem viel eleganter als die Nichtstandardanalysis. Aber jedem das Seine, keine Frage:cool:.
 

Bernd

Foren-Redakteur
Teammitglied
Es ist nicht das Problem, dass implizit die Konvergenz vorausgesetzt wird, sondern dass meist die Bedingung nicht genannt wird.
 

SánchezP

Mitglied
Es ist nicht das Problem, dass implizit die Konvergenz vorausgesetzt wird, sondern dass meist die Bedingung nicht genannt wird.
Wenn dies an entscheidenden Stellen nicht erwähnt wird, ist das tatsächlich ein ernstes (mathematisches) Problem.

Und das ist das Problem bei 0,999...
Das ist hingegen kein Problem, es geht genauso: 10*0,99999... = 9,99999.... (=10). Dies gilt zumindest in der "Standard"-Analysis für reelle Zahlen, deren Dezimalbruchentwicklung mittels g-adischer Entwicklung für g=10 definiert wird (also durch konvergente Reihen).
 

Bernd

Foren-Redakteur
Teammitglied
Wenn dies an entscheidenden Stellen nicht erwähnt wird, ist das tatsächlich ein ernstes (mathematisches) Problem.



Das ist hingegen kein Problem, es geht genauso: 10*0,99999... = 9,99999.... (=10). Dies gilt zumindest in der "Standard"-Analysis für reelle Zahlen, deren Dezimalbruchentwicklung mittels g-adischer Entwicklung für g=10 definiert wird (also durch konvergente Reihen).
Stimmt. In der Standardanalysis ist es so definiert. (Oder ähnlich aber äquivalent. Es gibt mehrere Methoden.)
 

SánchezP

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Um vielleicht abschließend nochmal den Bogen zur Lyrik zu schlagen, hier noch ein hoffentlich passender Limerick (in Abwandlung eines bereits existierenden):

Ungläubig

Es versucht sich ein Heide in Rom
An Zorns Lemma entgegen dem Strom
Doch ohne zu wählen
Muss er sich sehr quälen
Denn er glaubt nicht ans Auswahlaxiom

In diesem Sinne: Vielen Dank, Bernd, für die interessante mathematische Diskussion!

Gruß
Sánchez
 

Bernd

Foren-Redakteur
Teammitglied
In einer Diskussion mit einem Freund aus dem Ende des letzten Jahrtausends:
"Warum verhungert Buridans Esel?"

Er hatte das einleuchtende Ergebnis:

Zwei exakt gleiche Mengen an Heu in Heuhaufen erfordern, dass es leere Mengen sind.
Die Esel mussten also notwendigerweise verhungern.


Anmerkung von mir: Das liegt unter anderem am Pauliprinzip, aber man kann es auch intuitiv sehen. Es gibt nicht mal zwei exakt gleich große Grashalme.
 

Bernd

Foren-Redakteur
Teammitglied
Auch heute noch wird der Begriff der unendlich kleinen Größe verwendet.


Die klassische Physik beantwortet die Frage nach der Möglichkeit von Bewegung mit dem Konzept des unendlich Kleinen oder – anders gesagt – dem Grenzwertbegriff. Ausformuliert wurde dieses Konzept zwei Jahrtausende später von Isaac Newton und Gottfried Wilhelm Leibniz (unabhängig voneinander).
In der Mathematik wurde diese Form als inexakt in der Standardanalysis verworfen, also der Grenzwert vom Begriff des unendlich Kleinen getrennt, aber in der Nichtstandardanalysis wieder aufgegriffen und begründet.
 

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