Wir haben hier ein Axiom als Voraussetzung, dass zusätzlich vorhanden ist, das Schnittaxiom.
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Wenn man die reellen Zahlen anders definieren würde, würden andere Regeln gelten.
Aber: Ich habe nirgends gesagt, dass es sich um reelle Zahlen handelt.
Der Knackpunkt: wir definieren entweder ein zu dx passendes Axiom oder ein zu Intervallschachtelungen passendes Axiom. (Welche konkrete Form es ist, ist nicht so entscheidend.)
Das ist etwa:
a) Zwischen die vom Betrag her kleinste reelle Zahl und 0 passen unendlich kleine Zahlen (dx) Dazu gibt es verschiedene äquivalente Definitionen und auch andere. Die unendlich kleinen Zahlen sind dabei kleiner als die kleinste reelle Zahl.
b) Es passen keine dazwischen. (verschiedene einander äquivalente Definitionen)
Ich schreibe das ja auch, weil ich die Mathematik liebe.
Dabei habe ich aber gefunden, dass die Grundlagen nicht ganz so eindeutig sind. man kann Regeln festlegen. Legt man zum Beispiel Dedekindsche Schnitte fest, und bestimmt man als Wert den (oberen) Grenzwert, ist es eindeutig.
Ich bin nicht so gut in Mathe, dass ich das erfunden habe. Heute nennt man es Nichtstandardalgebra. Und es gibt auch sogar dort den Streit, ob man 0,999... damit behandeln kann.
Beim Auge von Horus hörte man relativ früh auf.
de.wikipedia.org
1/63 war der kleinste Bruch, der repariert wurde.
Zerbrochen war es aber in der Art: 1/2+1/4+1/8 ...
und das ergibt als Grenzwert 1.
Aber es gibt kein kleinstes Bruchstück, außer unendlich klein ... (wenn man es konsequent weiterbetrachtet, wie Taschner.)
Man kann das Auge nicht reparieren, wenn man unendlich außer acht lässt.
Oder eben quantelt und bei einem kleinsten Stück aufhört.